LAS INTEGRALES

Las integrales, al igual que las derivadas anteriormente explicadas, son un concepto fundamental de las matemátic as avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático.

Una integral es, básicamente, la suma de los infinitos sumandos de una región determinada. Es el proceso inverso a las derivadas.

Los principales objetivos de las integrales son los siguientes:

• Cálculo del área de una región plana
• Volumen de un sólido de revolución
• Cambios de variables

 Existen diferentes tipos de resolver las integrales:

• Mediante cambios de variables: una parte de f(x) se sustituye por una variable t que simplifique la integral
• Racionales: si el denominador se puede descomponer en diferentes miembros en diferentes ecuaciones de grado 1: 

                              A/(x+t1)=B/(x+t2)=C/(x+t3)

• Por partes: 

                    


INTEGRALES INMEDIATAS:

LAS DERIVADAS

En la rama de cálculo de las matemáticas, las derivadas representan cómo una función cambia (y) a medida que su entrada (x) cambia.
Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
El proceso de hallar una derivada se denomina diferenciación. El proceso fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso a la integración en funciones continuas.

DERIVABILIDAD:

Una función con dominio dentro de los números reales, es derivable siempre y cuando se cumplan la siguiente condición:

• Tiene que se continua en el punto. Esto no quiere decir que siempre que sea continua una función, sea derivable. 
• Para que sea derivable, la pendiente debe ser igual a la izquierda y a la derecha del punto, es decir, que no tengas "picos".

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

EL NÚMERO DE ORO EN LA NATURALEZA

Hemos hablado de la importancia del número de oro en la historia del arte. Ahora vamos a hablar de las manifestaciones de este número en la naturaleza.



En primer lugar, vamos a hablar de las espirales que forman los cuerpos de algunos seres vivos, por ejemplo, los caracoles:

A primera vista, quizá no veamos por ningún lado la proporción áurea. Sin embargo, si dividimos la imagen en rectángulos (quedándonos solo con la espiral, sin la imagen del caracol), queda de la siguiente manera:

En la imagen observamos muchos rectángulos áureos, que ya explicamos anteriormente. Si unimos, mediante una línea en espiral, como vemos en la fotografía, obtenemos lo que se llama espiral áurea.
 
 

Hemos hablado de la importancia del número de oro en la historia del arte. Ahora vamos a hablar de las manifestaciones de este número en la naturaleza.


Esta imagen de una piña también ofrece algunas espirales áureas.

Encontramos, en otros ámbitos de la naturaleza, fenómenos igual de sorprendentes que el anterior. El siguiente ejemplo, que trata sobre plantas, está relacionado con la sucesión de Fibonacci: si tomamos una hoja y vamos girando alrededor del tallo, contando las hojas, hasta encontrar otra con la misma orientación, el número de hojas “n” que hemos contado suele pertenecer a la sucesión de Fibonacci.



Algo igual de sorprendente es que, para llegar a encontrar una hoja con la misma orientación que otra elegida al azar, hay que dar al tallo un número “m” de vueltas completas, que también suele pertenecer a la sucesión de Fibonacci.



De hecho, al cociente m/n se le conoce como divergencia del tallo.



Otra relación entre las plantas y el número de oro es el número de pétalos que algunas de ellas suelen tener en sus flores. Este número de hojas suele pertenecer también a la sucesión de Fibonacci. Ahí van algunos ejemplos de esto:



Los lirios suelen tener 3 pétalos:

Los girasoles suelen tener 13, 21, 34, 55 o 89 pétalos:

ARTE Y MATEMÁTICAS EN LA ITALIA DE LEONARDO DA VINCI:

Seguimos estudiando la relación entre matemáticas y arte que ha venido apareciendo a lo largo de la historia. Si antes nos detuvimos en Grecia, ahora lo haremos en la Italia renacentista.




En esta época se produce un intento de regresar a la cultura y al arte clásicos, lo que hace que las obras de estos años se caractericen por su claridad y por su racionalidad. Esta última característica implica a las matemáticas. También aparece el antropocentrismo, las obras se centran en el hombre.



Empezaremos fijándonos en el hombre de Vitrubio, obra de Leonardo da Vinci que cumple todo lo expuesto anteriormente.



Una fotografía de la obra es la siguiente:







Como sabemos, Leonardo da Vinci fue uno de los personajes más inteligentes que pisaron la Tierra. Esta representación, como no podía ser de otra manera, guarda grandes relaciones entre sus partes que tienen que ver con el número de oro. Veamos algunas de ellas:

Aparte de las igualdades de la fotografía, muchas relaciones entre articulaciones de la imagen mantienen una relación áurea. Por ejemplo, 9/8 (codo-muñeca / muñeca-mano) = Ф , 12/11 (brazo / codo-mano) = Ф. También ocurre lo mismo con 17/16 , 14/13 , 2/1 , 2/3 , 5/4 , 6/5 y 7/6.



Por otra parte, Leonardo da Vinci también utilizó la proporción áurea en su famosa obra, la Mona Lisa. Lo vemos en la siguiente imagen:

Aunque sea difícil de creer, Leonardo da Vinci consiguió crear belleza con la proporción áurea, todos los rectángulos de la figura tienen una proporción áurea, hechos siguiendo paso a paso el método que exponemos.

 

Está claro que este tío fue un genio, ¿os dais cuenta de lo que hizo? ¡Creó arte usando solo un número y un rectángulo cuyos lados dan ese número como cociente!

Con razón dicen que fue el más inteligente de toda la historia.

LAS MATEMÁTICAS EN EL ARTE: LA ÉPOCA CLÁSICA

A lo largo de la historia, las matemáticas han jugado un papel fundamental en el arte de las diferentes culturas y civilizaciones, como veremos en los siguientes ejemplos.



El primer ejemplo que vamos a mostrar es el de la importancia del número de oro y la proporción áurea en la época clásica.



La siguiente imagen es una fotografía del Partenón, construido en el siglo V a.C. en Atenas.

Para los griegos, las matemáticas eran sinónimo de la armonía y de la belleza, incluso de la purificación del alma. Esto explica la siguiente relación matemática que encontramos en el Partenón:

 

Vemos que el Partenón podemos verlo como un gran rectángulo, cuya anchura es mayor que su altura. Si dividimos la anchura de este rectángulo entre su altura, obtenemos el número áureo, por lo que decimos que el rectángulo tiene una proporción áurea. Esta proporción está presente también en muchos otros cocientes de las medidas de los segmentos indicados en la figura. También vemos que el Partenón puede dividirse en seis rectángulos del mismo área, dos “horizontales” y cuatro “verticales”.

En el Partenón, además de en algunas relaciones entre segmentos y áreas, encontramos el número áureo en forma de rectángulos áureos, que son un ejemplo de la proporción áurea. Esto lo vemos en la siguiente fotografía:

 

Los rectángulos señalados en la fotografía son áureos. Este tipo de rectángulo se construye, geométricamente de la siguiente forma:

La explicación matemática de que al dividir las dimensiones del rectángulo obtengamos el número de oro es la siguiente: en el cuadrado de la izquierda vemos que la medida del segmento inferior es 1 + √5 , ya que en la parte derecha del cuadrado observamos una diagonal cuya medida es la raíz cuadrada de 2 al cuadrado más 1 al cuadrado, es decir, la raíz de 5. Si llevamos esta medida a la horizontal y sumamos 1, tal como se ve en la imagen, obtenemos 1 + √5.

Si el otro lado del rectángulo mide 2 unidades, entonces al dividir ambos lados nos quedará:

(1 + √5) / 2 , que es el número de oro.